Разбор олимпиадной задачи про эластичность спроса

Автор: Игорь Святославович Демин · Опубликовано 27.10.2017 · Обновлено 10.11.2017

из школьного этапа для 11 класса

Весной спрос на мороженое описывался функцией ${Q_{D}}=100-5p$ . Летом спрос на мороженое вырос (при этом известно, что производная функции спроса по цене осталась прежней). Новая равновесная цена составила 12 рублей. Эластичность спроса по цене в новой точке равновесия равна $-1$ . На сколько изменилась величина спроса при нулевой цене?

[spoiler title=’Варианты ответов’ style=’brown’ collapse_link=’true’]а. 20

б. 15

в. 10

г. 5[/spoiler]

[spoiler title=’Решение’ style=’orange’ collapse_link=’true’]

Обратим внимание на то, что производная функции спроса по цене осталась прежней. Это значит, что второе слагаемое в формуле спроса осталось тем же самым, а изменилось первое (поскольку первое слагаемое является константой, а у производная от константы равна нулю — а от второго слагаемого не нулю).

Значит, новая формула спроса ${Q_{D}}=x-5p$ , где $x$ — некоторое число. Производная и старой, и новой функции равна $-5$ .

Теперь построим функцию эластичности. Она будет выглядеть так

$e={Q_{D}}'*\frac{p}{Q}$

$е=-5* \frac{p}{x-5p}$

Теперь вспомним, что новая равновесная цена составила 12 рублей. Эластичность спроса по цене в новой точке равновесия равна $-1$ .

Значит

$-1=-5* \frac{12}{x-5*12}$

$60=x-60$

$x=120$

Итак, новая формула спроса ${Q_{D}}=120-5p$ , а старая, напоминаю, была ${Q_{D}}=100-5p$ . При нулевой цене (впрочем, как и при любой другой) значение новой формулы будет на 20 больше. Это и есть ответ