Разбор олимпиадной задачи про эластичность спроса

из школьного этапа для 11 класса

Весной спрос на мороженое описывался функцией {Q_{D}}=100-5p. Летом спрос на мороженое вырос (при этом известно, что производная функции спроса по цене осталась прежней). Новая равновесная цена составила 12 рублей. Эластичность спроса по цене в новой точке равновесия равна -1. На сколько изменилась величина спроса при нулевой цене?

Варианты ответов

а. 20

б. 15

в. 10

г. 5

[свернуть]
Решение

Обратим внимание на то, что производная функции спроса по цене осталась прежней. Это значит, что второе слагаемое в формуле спроса осталось тем же самым, а изменилось первое (поскольку первое слагаемое является константой, а у производная от константы равна нулю — а от второго слагаемого не нулю).

Значит, новая формула спроса {Q_{D}}=x-5p, где x — некоторое число. Производная и старой, и новой функции равна -5.

Теперь построим функцию эластичности. Она будет выглядеть так

    \[ e={Q_{D}}'*\frac{p}{Q} \]

    \[ е=-5* \frac{p}{x-5p} \]

Теперь вспомним, что новая равновесная цена составила 12 рублей. Эластичность спроса по цене в новой точке равновесия равна -1.

Значит

    \[ -1=-5* \frac{12}{x-5*12} \]

    \[ 60=x-60 \]

    \[ x=120 \]

Итак, новая формула спроса  {Q_{D}}=120-5p, а старая, напоминаю, была {Q_{D}}=100-5p. При нулевой цене (впрочем, как и при любой другой) значение новой формулы будет на 20 больше. Это и есть ответ

[свернуть]

Читайте также: