Разбор олимпиадной задачи про эластичность спроса
из школьного этапа для 11 класса
Весной спрос на мороженое описывался функцией . Летом спрос на мороженое вырос (при этом известно, что производная функции спроса по цене осталась прежней). Новая равновесная цена составила 12 рублей. Эластичность спроса по цене в новой точке равновесия равна
. На сколько изменилась величина спроса при нулевой цене?
а. 20
б. 15
в. 10
г. 5
Обратим внимание на то, что производная функции спроса по цене осталась прежней. Это значит, что второе слагаемое в формуле спроса осталось тем же самым, а изменилось первое (поскольку первое слагаемое является константой, а у производная от константы равна нулю — а от второго слагаемого не нулю).
Значит, новая формула спроса , где
— некоторое число. Производная и старой, и новой функции равна
.
Теперь построим функцию эластичности. Она будет выглядеть так
Теперь вспомним, что новая равновесная цена составила 12 рублей. Эластичность спроса по цене в новой точке равновесия равна .
Значит
Итак, новая формула спроса , а старая, напоминаю, была
. При нулевой цене (впрочем, как и при любой другой) значение новой формулы будет на 20 больше. Это и есть ответ