Разбор задач по оптимизации прибыли при совершенной конкуренции

Автор: ·

(совершенная конкуренция)

[latexpage]

Задача 1

Скоро появится…

Задача 2

Средние затраты на выпуск продукции фирмой, работающей в условиях совершенной конкуренции, выражаются формулой

$AC=2Q-4+44/Q$

Цена на продукцию это фирмы установилась равной 20.

При каком количестве выпускаемой продукции прибыль будет максимальной?

[spoiler title=’Ответ’ style=’purple’ collapse_link=’true’]$Q=6$[/spoiler]

Чему равна эта прибыль?

[spoiler title=’Ответ’ style=’purple’ collapse_link=’true’]$Pr=28$[/spoiler]

[spoiler title=’Решение’ style=’brown’ collapse_link=’true’]Общее условие максимизации прибыли:

$MC=MR$          [1]

При этом в условиях совершенной конкуренции предельная выручка равна цене товара:

$MR=P$

Значит, условие максимизации можно представить как:

$MC=20$          [2]

Теперь вспомним, что предельные затраты — это производная от общих:

$MC=TC’$

а общие — это средние, умноженные на количество:

$TC=AC*Q$

Посчитаем сначала общие затраты:

$TC=AC*Q$

$TC=2Q^2-4Q+44$        [3]

Теперь возьмем производную от этой функции (если забыли как, то читайте эту статью)

$MC=TC’$

$MC=4Q-4$

Подставляем в формулу [2] и получаем:

$4Q-4=20$

$Q=6$

Это ответ на первый вопрос. Теперь посчитаем прибыль. Она равна общей выручке за минусом общих издержек:

$Pr=TR-TC$

Общая выручка равна, разумеется, цене, умноженной на количество:

$TR=P*Q$

$TR=20*6$

$TR=120$

А общие издержки мы уже считали — см. формулу [3].

Значит:

$Pr=TR-TC$

$Pr=120-2Q^2+4Q-44$

$Pr=120-2*6^2+4*6-44$

$Pr=120-72+24-44$

$Pr=28$

[/spoiler]

Задача 3

Общие затраты производителя на выпуск продукции в условиях конкуренции выражаются формулой

$TC=Q^2-12Q+48$

Он посчитал, что наибольшую прибыль он получит при выпуске 14 единиц товара.

Чему равна эта прибыль?

[spoiler title=’Решение’ style=’brown’ collapse_link=’true’]Общее условие максимизации прибыли:

$MC=MR$          [1]

При этом в условиях совершенной конкуренции предельная выручка равна цене товара:

$MR=P$          [2]

 

Предельные затраты — это производная от общих:

$MC=TC’$

Значит, функция предельных затрат:

$MC=2Q-12$

Подставив известное значение количества, получаем:

$MC=2*14-12$

$MC=16$

Согласно формуле [2]

$P=16$

Теперь посчитаем общую прибыль. Она равна общей выручке за минусом общих затрат:

$Pr=TR-TC$          [3]

Общая выручка — это цена, умноженная на количество:

$TR=P*Q$

$TR=16*14$

$TR=224$          [4]

А формула общих затрат дана в условии. Нужно лишь подставить в нее количество (также заданное в условии):

$TC=Q^2-12Q+48$

$TC=14^2-12*14+48$

$TC=76$          [5]

Осталось подставить значения [4] и [5] в формулу [3]

$Pr=TR-TC$

$Pr=224-76$

$Pr=148$

[/spoiler]

Читайте также: