Разбор задач по оптимизации прибыли при совершенной конкуренции
(совершенная конкуренция)
[latexpage]
Задача 1
Скоро появится…
Задача 2
Средние затраты на выпуск продукции фирмой, работающей в условиях совершенной конкуренции, выражаются формулой
$AC=2Q-4+44/Q$
Цена на продукцию это фирмы установилась равной 20.
При каком количестве выпускаемой продукции прибыль будет максимальной?
[spoiler title=’Ответ’ style=’purple’ collapse_link=’true’]$Q=6$[/spoiler]
Чему равна эта прибыль?
[spoiler title=’Ответ’ style=’purple’ collapse_link=’true’]$Pr=28$[/spoiler]
[spoiler title=’Решение’ style=’brown’ collapse_link=’true’]Общее условие максимизации прибыли:
$MC=MR$ [1]
При этом в условиях совершенной конкуренции предельная выручка равна цене товара:
$MR=P$
Значит, условие максимизации можно представить как:
$MC=20$ [2]
Теперь вспомним, что предельные затраты — это производная от общих:
$MC=TC’$
а общие — это средние, умноженные на количество:
$TC=AC*Q$
Посчитаем сначала общие затраты:
$TC=AC*Q$
$TC=2Q^2-4Q+44$ [3]
Теперь возьмем производную от этой функции (если забыли как, то читайте эту статью)
$MC=TC’$
$MC=4Q-4$
Подставляем в формулу [2] и получаем:
$4Q-4=20$
$Q=6$
Это ответ на первый вопрос. Теперь посчитаем прибыль. Она равна общей выручке за минусом общих издержек:
$Pr=TR-TC$
Общая выручка равна, разумеется, цене, умноженной на количество:
$TR=P*Q$
$TR=20*6$
$TR=120$
А общие издержки мы уже считали — см. формулу [3].
Значит:
$Pr=TR-TC$
$Pr=120-2Q^2+4Q-44$
$Pr=120-2*6^2+4*6-44$
$Pr=120-72+24-44$
$Pr=28$
[/spoiler]
Задача 3
Общие затраты производителя на выпуск продукции в условиях конкуренции выражаются формулой
$TC=Q^2-12Q+48$
Он посчитал, что наибольшую прибыль он получит при выпуске 14 единиц товара.
Чему равна эта прибыль?
[spoiler title=’Решение’ style=’brown’ collapse_link=’true’]Общее условие максимизации прибыли:
$MC=MR$ [1]
При этом в условиях совершенной конкуренции предельная выручка равна цене товара:
$MR=P$ [2]
Предельные затраты — это производная от общих:
$MC=TC’$
Значит, функция предельных затрат:
$MC=2Q-12$
Подставив известное значение количества, получаем:
$MC=2*14-12$
$MC=16$
Согласно формуле [2]
$P=16$
Теперь посчитаем общую прибыль. Она равна общей выручке за минусом общих затрат:
$Pr=TR-TC$ [3]
Общая выручка — это цена, умноженная на количество:
$TR=P*Q$
$TR=16*14$
$TR=224$ [4]
А формула общих затрат дана в условии. Нужно лишь подставить в нее количество (также заданное в условии):
$TC=Q^2-12Q+48$
$TC=14^2-12*14+48$
$TC=76$ [5]
Осталось подставить значения [4] и [5] в формулу [3]
$Pr=TR-TC$
$Pr=224-76$
$Pr=148$
[/spoiler]
