Разбор задачи про спрос и предложение

из школьного этапа олимпиады для 11 класса, сложная задача

[latexpage]

Функция спроса описывается следующим соотношением:

\[

Q=\frac{100}{P^{(1/3)}}

\]

(если плохо видно, то в знаменателе P в степени одна третья)

где $P$ — цена в д.е., $Q$ — объем товара в шт. Предложение описывается функцией $Q=10+2P$. Чему равна эластичность спроса по цене в точке равновесия?

[spoiler title=’Предлагаемые варианты ответов (не обязательно смотреть, если хотите решить самостоятельно)’ style=’brown’ collapse_link=’true’]

а. $-1$

b. $-\frac{1}{3}$

c. $-\frac{1}{2}$

d. $-2$

[/spoiler]

[spoiler title=’Решение’ style=’orange’ collapse_link=’true’]

Это непростая задача. Вам, конечно, захочется найти точку равновесия. Вы приравняете правые части формул спроса и предложение и получите унылое уравнение, которое непонятно как решать. Я, например, не смог решить.

Это должно вам подсказать, что нужно искать другой ход. Давайте найдем формулу производной. Для этого, вообще говоря, нужно хорошо брать производные, так как она равна

\[

Q’=-\frac{100}{3P^{(4/3)}}

\]

Хотите узнать почему, спросите у учителя математики, или посмотрите тут.

Чтобы получить формулу точечной эластичности ее нужно умножить на $P$ и разделить на $Q$ (вместо которого используем правую часть формулы спроса), то есть

\[

e=-\frac{100}{3P^{(4/3)}}*P:\frac{100}{P^{(1/3)}}

\]

\[

e=-\frac{100}{3P^{(4/3)}}*P*\frac{P^{(1/3)}}{100}

\]

\[

e=-\frac{100P^{(4/3)}}{300P^{(4/3)}}

\]

\[

e=-\frac{1}{3}

\]

Оказывается, эластичность спроса везде одинаковая и равна $-\frac{1}{3}$. Вот неожиданность!

[/spoiler]