Разбор олимпиадной задачи про эластичность спроса

Автор: · Опубликовано · Обновлено

из школьного этапа для 11 класса

[latexpage]

Весной спрос на мороженое описывался функцией ${Q_{D}}=100-5p$. Летом спрос на мороженое вырос (при этом известно, что производная функции спроса по цене осталась прежней). Новая равновесная цена составила 12 рублей. Эластичность спроса по цене в новой точке равновесия равна $-1$. На сколько изменилась величина спроса при нулевой цене?

[spoiler title=’Варианты ответов’ style=’brown’ collapse_link=’true’]а. 20

б. 15

в. 10

г. 5[/spoiler]

[spoiler title=’Решение’ style=’orange’ collapse_link=’true’]

Обратим внимание на то, что производная функции спроса по цене осталась прежней. Это значит, что второе слагаемое в формуле спроса осталось тем же самым, а изменилось первое (поскольку первое слагаемое является константой, а у производная от константы равна нулю — а от второго слагаемого не нулю).

Значит, новая формула спроса ${Q_{D}}=x-5p$, где $x$ — некоторое число. Производная и старой, и новой функции равна $-5$.

Теперь построим функцию эластичности. Она будет выглядеть так

\[

e={Q_{D}}’*\frac{p}{Q}

\]

\[

е=-5* \frac{p}{x-5p}

\]

Теперь вспомним, что новая равновесная цена составила 12 рублей. Эластичность спроса по цене в новой точке равновесия равна $-1$.

Значит

\[

-1=-5* \frac{12}{x-5*12}

\]

\[

60=x-60

\]

\[

x=120

\]

Итак, новая формула спроса  ${Q_{D}}=120-5p$, а старая, напоминаю, была ${Q_{D}}=100-5p$. При нулевой цене (впрочем, как и при любой другой) значение новой формулы будет на 20 больше. Это и есть ответ

[/spoiler]

Читайте также: